Vitesse voiture calcul différentiel Sciences & Environnement

Le calcul différentiel : le problème de la vitesse

Le calcul différentiel est en fait ce que vous connaissez mieux sous le nom de dérivation ou d’intégration. Il est l’étude de ce que l’on appelle les taux de variation.

 

Pour faire simple, si je vous demande de calculer la vitesse d’une voiture sur 100 mètres vous allez diviser les 100 mètres par le temps que met la voiture à les parcourir et cela vous donnera sa vitesse moyenne. Exact. Maintenant si je vous demande de calculer la vitesse de cette voiture à un point donné, ce qu’on appelle la vitesse absolue, comment-faites-vous ?

Et bien il n’est pas du tout possible de procéder comme précédemment. Vous pouvez vous en convaincre car si vous essayez de diviser la distance parcourue par le temps que cela a pris, on se retrouve à faire une vitesse moyenne, pas une vitesse absolue à un instant donné.

La notion de dérivée (donc de calcul différentiel) est alors clairement indispensable.

 

Les origines du problème

Le calcul différentiel (aussi appeler infinitésimal) vient d’un problème simple : la tangente. Lorsque l’on prend n’importe quelle courbe, il est possible de lui tracer une tangente en un point. La tangente correspond juste à une droite représentant localement l’allure de la courbe.

 

 

Par exemple sur n’image ci-dessus, la tangente au point marqué à un coefficient directeur négatif : elle « descend ». Mais si nous avions fait la tangente sur un autre point nous aurions eu une droite différente.

Evidemment, de manière visuelle, résoudre le problème est très simple, on voit très bien localement comment faire une droite pour qu’elle représente l’allure de la courbe en un point donné. Mais mathématiquement cela devient très vite compliqué car lorsque l’on cherche à calculer une tangente il faut diviser par 0. Tout simplement, de la même manière que pour une vitesse moyenne, on va diviser une très petite quantité de distance par une très petite quantité de temps.  Newton et Leibniz se sont tous deux intéressés au problème. Ils ont tout les deux obtenu le même résultat et se sont d’ailleurs longtemps querellé pour savoir à qui revenait la paternité de la découverte.

En reprenant notre exemple de la vitesse, calculer une tangente revient à diviser une très petite « quantité » de distance (on la dira infinitésimale) par une très petite quantité de temps. Si on dit que la distance est la lettre y et le temps la lettre t cela donne en équation :

Le petit « d » signifie que l’on prend une très petite quantité de la variable qui le suit (en réalité, on prend même la plus petite quantité possible de la variable qui suit. Et cette division, qui peut être considérée comme le fait de diviser 0 par 0 (car les deux quantité sont extrêmement petites) n’est pas au gout des mathématiciens de l’époque. 

 

Les mathématiciens en sont perturbés

Pour les mathématiciens de l’époque, ce calcul n’a aucun sens. Premièrement car on considère cette division donne un résultat viable alors que l’on fait une division « interdite ». Deuxièmement car dans la démonstration (que je vous épargne), tantôt on considère ces petites variations comme valant réellement quelque chose et tantôt on les néglige.

En réalité, c’est assez complexe mais des solutions pour mettre tout le monde d’accord ont été trouvées. La plus simple étant déjà l’extrême précision, quasiment parfaite, du résultat.

C’est ainsi que sont nées la dérivation et l’intégration. L’intégration étant juste l’inverse d’une dérivation : on a la tangente et on cherche la courbe de base.

Ainsi nous pouvons maintenant calculer la vitesse en n’importe quel point, simplement en dérivant la position. D’ailleurs, il est même possible de dériver la vitesse : nous obtenons ainsi l’accélération. La dérivation et l’intégration sont tout simplement la base de toute notre conception de la mécanique.

Aujourd’hui, les concepts de dérivation et d’intégration sont absolument partout et ont permis de construire les mathématiques modernes. Leurs histoires ne sont malheureusement pas si belles que ça à cause de la querelle entre Newton (le créateur de la loi universelle de gravitation et des fameuses lois de Newton) et Leibniz (dont les plus grands accomplissements sont plutôt philosophiques, mais valent le coup d’oeil).

Ces deux concepts sont si importants qu’ils constituent à eux seuls la base d’une branche entière des mathématiques ! Branche permettant à la fois de construire la mécanique moderne mais également la statistique, la théorie du chaos etc.

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